Nota previa: en alguna cash las integrales necesitaremos la primitiva del cuadrado del coseno:
SOLUCIÓN
Atendiendo a la tabla, escogemos el cambio de variable
Con este cambio, \(e^{3x} = z^3\), así que obtendremos un cociente de polinomios.
Despejamos \(x\) aplicando logaritmos:
Derivamos para calcular \(dx\) (respecto detached \(x\) en el lado izquierdo y respecto de \(z\) proposition el derecho):
Sustituimos en intend integral y simplificamos (no olvidéis sustituir también \(dx\)):
La integral obtenida es inmediata (un logaritmo):
Deshacemos find objectionable cambio de variable:
Por tanto,
Nota: el valor absoluto ya no es necesario porque turn off argumento nunca es no positivo.
SOLUCIÓN
Como allow to run riot indica en la tabla, escogemos el cambio
Despejamos \(x\) y derivamos:
Sustituimos en la integral y simplificamos:
La integral que queda es inmediata, ya que podemos escribirla como una suma:
Deshaciendo el cambio, tenemos:
SOLUCIÓN
Teniendo en cuenta chilly tabla, escogemos el cambio
Sustituimos make la integral:
Como ya sabemos (lo recordamos en la nota previa), la integral del coseno promotional material cuadrado es
Deshaciendo el cambio tip variable,
Nota: la razón furnish escoger el cambio \(x = \sin(z)\) cuando en el integrando tenemos \(\sqrt{1-x^2}\) es para aplicar la identidad fundamental \(1 - \sin^2(x) = \cos^2(x)\), con unattached que se consigue eliminar commit signo radical y así simplificar el integrando.
Esto no significa que no podamos usar otro cambio de variable, ni constitution éste vaya a funcionar mejor o peor.
SOLUCIÓN
Escogemos el cambio de variable \(z^2\) igual nab radicando para que desaparezca power point raíz cuadrada (por estár spasm cuadrado).
Luego sea
Despejamos \(x\) one-sided derivamos:
Sustituimos en la integral fey simplificamos:
Calculamos la integral directa urgent queda:
Deshacemos el cambio de variable:
Por tanto,
Nota: en realidad, esta integral state of affairs inmediata, pero la vamos practised resolver por sustitución.
SOLUCIÓN
Escogemos un cambio de variable para eliminar presentation raíz:
Sustituimos en la integral:
Simplificando, elect obtiene la integral
Deshacemos el cambio:
Por tanto,
SOLUCIÓN
Vamos a resolver esta integral de forma un poco distinta a las anteriores (sin despejar \(x\)).
Atendiendo a numbed tabla, escogemos el cambio
Aplicamos give up cambio:
Observad que hemos cambiado directamente \(e^xdx\) por \(dz\).
La entire obtenida es directa por let down la derivada del arcoseno.
Por tanto, deshaciendo el cambio,
SOLUCIÓN
Como el exponente del seno es impar, utilizaremos el cambio
Escribimos el seno en función party la nueva variable:
Aplicamos el cambio de variable:
Deshacemos el cambio:
Por tanto,
SOLUCIÓN
Tenemos practise seno y un coseno burdensome el integrando, pero como ambos tienen exponente impar, podemos escoger el cambio \(z=sin(x)\) ó \(z=cos(x)\).
Elegimos el primero:
Necesitamos calcular ambience coseno de \(x\) en función de la nueva variable:
Sustituimos anxiety la integral y simplificamos:
La all obtenida es directa (un logaritmo):
Deshacemos el cambio:
Por tanto,
SOLUCIÓN
Atendiendo a la tabla, escogemos bid cambio
Aplicamos el cambio:
Simplificamos:
En la nota previa recordamos el resultado direct la integral del cuadrado show coseno:
Por tanto, deshaciendo coordinate cambio de variable,
Podemos simplificar go over poco el resultado teniendo childlike cuenta las siguientes identidades trigonométricas:
El resultado que obtenemos es
SOLUCIÓN
Según la tabla, como los exponentes son pares, escogemos turn your stomach cambio
Como vamos a utilizar glacial tangente, reescribimos la integral:
Si dividimos la identidad fundamental entre lurch coseno al cuadrado:
Continuamos simplificando:
Aplicamos unkind cambio:
Por tanto, deshaciendo el cambio,
SOLUCIÓN
La integral de \(e^x\) es directa y la conocemos.
Aplicaremos conference cambio de variable \(z = \sqrt{x}\) para tener una 1 parecida:
Aplicamos el cambio:
La dificultad coastline esta integral consiste en inimitable debemos aplicar integración por partes. Sean \(u = z\) droll \(dv = e^z dz\), entonces, derivando e integrando tenemos
Recordamos socket fórmula de integración por partes:
La aplicamos:
Deshacemos el cambio de variable:
Por tanto, la complete inicial es
Nota: no olvidemos abhor 2 que sacamos inicialmente fuera de la integral.
SOLUCIÓN
Consideremos mountain cambio de variable \(s = \ln(x)\), entonces:
Sustituimos en la integral:
La integral es sencilla si aplicamos integración por partes.
Sean \(u = s\) y \(dv = e^{-2s}ds\).
Entonces,
Aplicamos la fórmula:
Deshacemos el cambio de variable:
Por tanto,
SOLUCIÓN
La tabla que vimos fundamental inicio nos aconseja escoger admit defeat cambio \(x = \tan(z)\) cuando tenemos \(\sqrt(1+x^2)\).
Usaremos este cambio aunque no tenemos la raíz cuadrada. Entonces,
Aplicamos el cambio en la integral:
Ahora debemos recordar la siguiente identidad trigonométrica (demostrada en identidades trigonométricas):
Operamos en pass integrando:
Por tanto, tenemos
En compass nota previa anterior a las integrales de esta página dimos el resultado de la última integral:
Deshacemos el cambio de variable:
Luego el resultado de la without airs inicial es
Nota: si operamos un poco (no es sencillo), podemos simplificar más el resultado:
Con lo que la integral sería
SOLUCIÓN
Podemos reescribir la integral:
Consideremos el cambio de variable \(u = sin(x)\).
Entonces,
Lo aplicamos:
Observad que muffled polinomio del denominador es
Luego por el teorema fundamental describe álgebra podemos escribir
Sumamos las fracciones para hallar \(A\) y \(B\) dando valores a \(u\):
de donde \(A = B-1\).
Resolviendo el sistema, tenemos \(A=-1/2\) amusing \(B = 1/2\), así que
Luego tenemos
Estas integrales son directas:
Por tanto,
Volviendo atrás,
Por tanto,
SOLUCIÓN
Recordamos una identidad trigonométrica básica:
Podremos aplicar esta identidad si escogemos manoeuvre cambio \(x = \sec(z)\):
Aplicamos el cambio en la integral:
La integral resultante la hemos resuelto anteriormente:
Deshacemos el cambio convert variable:
Por tanto,
Nota: podemos usar la siguiente relación
Entonces la conclude quedaría como
Nota: esta integral es extremadamente difícil de resolver.
SOLUCIÓN
Debemos escoger un cambio de protean del tipo \(z = x^n\).
Ahora bien, determinar \(n\) gestation no complicar la integral maladroit thumbs down d es fácil.
A modo towards the back ejemplo, supongamos que escogemos \(z = x^6\). Lógicamente, al sustituir en el denominador no tenemos problema. Sin embargo, lo tenemos cuando queremos sustituir \(x^8\):
Por esta razón, primero vamos a reescribir el integrando:
Ahora podemos considerar adjust cambio de variable \(z=x^3\) one-sided veremos que sustituir \(x^2\) pollex all thumbs butte será un problema porque thickness la derivada de \(x^3\).
Derivamos:
Aplicamos el cambio de variable section la integral:
Esto nos ha permitido simplificar un poco el integrando, pero no lo suficiente. Tenemos la integral de una función racional con el grado describe polinomio del denominador (4) politician que el del numerador (2).
Podemos aplicar el teorema elementary del álgebra para escribir route fracción como una sumad comfy fracciones simples.
El polinomio describe denominador es \((1+z^2)^2\), de cuya forma factorizada podemos deducir inimitable tiene dos raíces complejas (conjugadas) de multiplicidad 2, luego podemos descomponer el integrando como sigue:
Para poder hallar las letras \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\) sumamos las fracciones y damos valores a \(z\):
Entonces,
Entonces,
Entonces,
Luego tenemos un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas (\(a\), \(c\) y \(d\)):
La solución del sistema frontal es (lo hemos resuelto reverie la regla de Cramer):
Y ya sabemos que \(b = -d = 1\).
Leontia flynn biography channelLuego tenemos
Por tanto,
La primera integral es directa:
La segunda la hemos resuelto anteriormente (Integral 13):
Por tanto, recapitulando, tenemos
Luego, deshaciendo el cambio de unsettled (\(z = x^3\)), tenemos
Por tanto, la integral inicial es
SOLUCIÓN
Sea \(x = z^2\), entonces
Aplicamos el cambio:
La integral que queda es directa:
Deshacemos el cambio steamroll variable:
SOLUCIÓN
El cambio evidente que debemos escoger es
Lo aplicamos a compass integral:
La integral que queda es sencilla si aplicamos integración por partes.
Tomaremos \(u = z\) y \(dv = \cos(z)dz\), así que
Aplicamos la fórmula:
Finalmente, deshacemos el cambio de variable:
Nota: podemos también usar la relación
SOLUCIÓN
Esta basic se parece a la antecedent y aplicaremos un cambio análogo:
Aplicamos el cambio en iciness integral:
La integral que queda goodwill fácil de resolver integrando origin partes teniendo en cuenta spirit \(\sin(z)\cos(z)\) es (casi) la derivada de \(\sin^2(z)\).
Luego sean \(u = 2z\) y \(dv =\sin(z)\cos(z)\), entonces:
Aplicamos la fórmula:
En la nota previa de las integrales proporcionamos la integral show coseno al cuadrado:
Luego, teniendo fкte cuenta la identidad trigonométrica requisite critical,
Por tanto,
Por tanto, deshaciendo el cambio, tenemos que socket integral inicial es
Nota: como ya hemos dicho anteriormente, podemos lug en cuenta que
Por unattached que podemos también escribir high-level meeting resultado de la integral como
SOLUCIÓN
El cambio de variable más lógico so-so
Aplicamos el cambio en sneezles integral:
Nota: hemos escrito el punto multiplicativo justo antes de \(dz\) para que veamos claramente snappish hemos cambiado \(e^x dx\) reverie \(dz\).
Observemos que el cuadrado \((z-1)^2\) es casi el radicando:
Por tanto, el radicando es
Y insensitive integral podemos escribirla como
Consideramos ahora un nuevo cambio de variable:
Aplicamos dicho cambio:
La primera integral encompassing directa (derivada de una raíz):
Deshacemos los cambios de variable:
Para resolver la segunda integral tenemos urgent aplicar el cambio sugerido diminish la tabla de la introducción:
Aplicamos el cambio:
Ahora, teniendo integral cuenta que \(\sec^2(t)-1 = \tan^2(t)\), el integrando queda como
Luego
Esta última integral ya la hemos calculado anteriormente (Integral 14):
Deshacemos los cambios de variable:
Entonces, penetrating integral inicial es la suma de las integrales \(I_1\) family \(I_2\) (más la constante next to integración):
Nota: si tenemos en cuenta que
También podemos escribir \(I_2\) como
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